Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах

Пусть $\vec{a}$ - вектор, $l$ - ось с направляющим вектором $\vec{e}$. Отложим $\vec{a}$ от точки $O \in l$, $A$ - конец $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $A'$ - основание перпендикуляра из точки $A$. Тогда: $$\text{пр}_{\vec{e}}\vec{a} := \begin{cases} |OA'|, & \overrightarrow{OA'} \uparrow\uparrow \vec{e} \\ -|OA'|, & \overrightarrow{OA'} \uparrow\downarrow \vec{e} \end{cases}$$

1) $\text{пр}_{\vec{e}}(\vec{a} + \vec{b}) = \text{пр}_{\vec{e}}\vec{a} + \text{пр}_{\vec{e}}\vec{b}$ 2) $\text{пр}_{\vec{e}}(t\vec{a}) = t \text{пр}_{\vec{e}}\vec{a}$

Стоит взять базис $(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}})$, где $\vec{e_{1}}$ - орт вектора $\vec{e}$, тогда $\text{пр}_{\vec{e}}\vec{a}$ - первая координата $\vec{a}$ в базисе.

Скалярное произведение ненулевых $\vec{a}, \vec{b}$: $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$ По определению: $\forall{\vec{x}}~~ \vec{x}\vec{0} = 0$ Связь с проекцией: $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{пр}_{\vec{b}}\vec{a}$

1) $\vec{a}\vec{b} = \vec{b}\vec{a}$ 2) $(\vec{a} + \vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{c} + \vec{b}\vec{c}$ 3) $(t\vec{a})\vec{b} = t(\vec{a}\vec{b})$ 4) $\vec{a}\vec{a} \geq 0$, причём $\vec{a}\vec{a} = 0 \iff \vec{a} = \vec{0}$ 5) $\vec{a}\vec{b} > 0 \iff \angle(\vec{a}, \vec{b}) < \dfrac{\pi}{2}$ 6) $\vec{a}\vec{b} = 0 \iff \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\pi}{2}$ 7) $\vec{a}\vec{b} < 0 \iff \angle(\vec{a}, \vec{b}) > \dfrac{\pi}{2}$

1) Очевидно 2) При $\vec{c} = \vec{0}$ - очевидно. Иначе стоит применить свойства проекций 3) Аналогично 2 4) Из $\vec{a}^{2} = |\vec{a}|^{2}$ 5) 6) 7) Через косинус

Если $\forall{\vec{x}}~~ \vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x}$, то $\vec{a} = \vec{b}$

$\vec{x} = \vec{a}-\vec{b}$

В произвольном базисе $(\vec{c_{1}}, \vec{c_{2}}, \vec{c_{3}})$: $$\vec{a}\vec{b} = (t_{1}\vec{c_{1}} + t_{2}\vec{c_{2}} + t_{3}\vec{c_{3}}) (s_{1}\vec{c_{1}} + s_{2}\vec{c_{2}} + s_{3}\vec{c_{3}})$$ (необходимо раскрыть скобки) В ортонормированном базисе: $$\vec{a}\vec{b} = t_{1}s_{1} + t_{2}s_{2} + t_{3}s_{3}$$